1. Bola A dan bola B bergerak di atas bidang datar segaris kerja. Bola A dengan massa 2 kg bergerak ke kanan dengan kecepatan 4 m/s dan bola B dengan massa 1 kg bergerak ke kiri dengan kecepatan 6 m/s. Kedua bola bertumbukan sentral. Hitunglah kecepatan masing-masing bola setelah tumbukan jika tumbukan kedua bola:
a. tidak lenting sama sekali
b. lenting sebagian dengan e = 0,8
c. lenting sempurna

Hukum kekekalan momentum linear akan selalu berlaku pada sistem dua buah benda bertumbukan, asalkan tidak ada gaya luar yang mempengaruhi. Jadi momentum linear sistem akan tetap sama, namun energi kinetik sistem dapat berkurang karena dapat berubah menjadi energi lain maka hukum kekekalan energi kinetiknya tidak berlaku

Berdasarkan berlaku atau tidaknya hukum kekekalan energi mekanik ( khususnya energi kinetik) tumbukan terbagi menjadi 3 jenis :

1.       Tumbukan Lenting Sempurna

2.       Tumbukan Tidak Lenting

3.       Tumbukan Lenting Sebagian

1.       Tumbukan Lenting Sempurna

Pada peristiwa tumbukan ini, energi kinetik sistem adalah tetap atau dapat dikatakan hukum kekekalan energi kinetik berlaku.. Jadi, energi kinetik total kedua benda sebelum dan sesudah tumbukan adalah tetap. Oleh karena itu, pada tumbukan lenting sempurna berlaku hukum kekekalan momentum dan hukum kekekalan energi kinetik. Tumbukan lenting sempurna hanya terjadi pada benda yang bergerak saja.

Dua buah benda memiliki massa masing-masing m₁ dan m₂ bergerak saling mendekati dengan kecepatan sebessar v₁ dan v₂ sepanjang lintasan yang lurus. Setelah keduanya bertumbukan masing-masing bergerak dengan kecepatan sebesar v’₁ dan v’₂ dengan arah saling berlawanan. Berdasarkan hukum kekekalan momentum dapat ditulis sebagai berikut.

m₁v₁ + m₂v₂ = m₁v’₁ + m₂v’₂

m₁v₁ – m₁v’₁ = m₂v’₂ – m₂v₂

m₁(v₁ – v’₁) = m (v’₂ – v₂)

   Sedangkan berdasarkan hukum kekekalan energi kinetik, diperoleh persamaan sebagai berikut.

E_k1 + E_k2 = E’_k1 + E’_k2

½ m₁v₁² + ½ m₂v₂²  = ½ m₁(v’₁)² + ½ m₂(v’₂)²

Jika persamaan di atas saling disubtitusikan, maka diperoleh persamaan sebagai berikut.

m₁(v₁ + v’₁)(v₁ – v’₁) = m₁(v’₂ + v₂)(v₁ – v’₁)

v₁ + v’₁ = v’₂ + v₂

v₁ – v₂ = v’₂ – v’₁

-(v₂ – v₁) = v’₂ – v’₁

Persamaan di atas menunjukan bahwa pada tumbukan lenting sempurna kecepatan relatif benda sebelum dan sesudah tumbukan besarnya tetap tetapi arahnya berlawanan.

Contoh soal

Dua benda bermassa sama bergerak saling mendekati pada suatu lintasan garis lurus, di mana kelajuan benda 1 adalah 6 m/s dan kelajuan benda 2 adalah 8 m/s. Jika setelah bertumbukan, benda 2 bergerak ke kiri dengan kelajuan 5 m/s maka besar dan arah kecepatan benda 1 setelah bertumbukan adalah…

Jawab :
Dik :    (m₁) = m

(m₂) = m
(v₁) = -6 m/s
(v₂) = 8 m/s
(v₂’) = 5 m/s

Dit :        v₁’?
Jawab :                 HKM :  m₁ v₁ + m₂ v₂ = m₁ v₁’ + m₂ v₂’

m v₁ + mv₂ = mv₁’ + mv₂’
m (v₁ + v₂) = m (v₁’ + v₂’)

Massa kedua benda sama sehingga m dilenyapkan dari persamaan :

v₁ + v₂ = v₁’ + v₂’
-6 + 8 = v₁’ + 5
2 – 5 = v₁’
v₁’ = -3 m/s

Tanda negatif menyatakan bahwa arah benda 1 berlawanan dengan arah benda 2

2.       Tumbukan Tidak Lenting

Pada peristiwa tumbukan ini terjadi pengurangan energi kinetik sistem atau dapat disebut hukum kekekalan energi kinetik tidak berlaku. Tumbukan tidak lenting disebut tidak lenting sama sekali jika sesaat setelah tumbukan kedua benda saling menempel dan bergerak bersama dengan kecepatan yang sama.

                

Maka dapat ditulis :                 m₁v₁ + m₂v₂        =             m₁v’₁ + m₂v’₂

          Karena v’₁ = v’₂ = v’,   maka :

m₁v₁ + m₂v₂        =             (m₁ + m₂) v’

Contoh Soal

Bola merah bermassa 1 kg bergerak ke kanan dengan kelajuan 20 m/s menumbuk bola hijau bermassa 1 kg yang diam di atas lantai.

Tentukan kecepatan masing-masing bola setelah tumbukan jika terjadi tumbukan tidak lenting (sama sekali)!
Jawab

Dik :     m₁ = 1 kg

v₁ = 20 m/s

m₂ = 1 kg
v'₁ = v'₂ = v'

Dit :        HKM :    m₁v₁ + m₂v₂             =            m₁v’₁ + m₂v’₂

       m₁v₁ + m₂v₂             =            (m₁ + m₂) v’

       (1)(20) + (1)(0)       =            (1+1) v’

        20                           =             2 v’

                   v’= 10m/s
               

3.       Tumbukan Lenting Sebagian

Dalam tumbukan lenting sempurna  ∆v’ = −∆v atau  −∆v’/ ∆v = 1
Rasio dari  −∆v’/ ∆v disebut sebagai koefisien restitusi (e)

Koefisien restitusi (e) adalah negatif perbandingan antara kecepatan relatif sesaat sesudah tumbukan dengan kecepatan relatif sesaat sebelum tumbukan, untuk tumbukan satu dimensi.

Misalnya, sebuah bola tenis dilepas dari ketinggian h₁ di atas lantai. Setelah menumbuk lantai bola akan terpental setinggi h₂, nilai h₂ selalu lebih kecil dari h₁.

perhatikan gambar diatas. Kecepatan bola sesaat sebelum tumbukan adalah v1 dan sesaat setelah tumbukan v₁’ . Berdasarkan persamaan gerak jatuh bebas, besar kecepatan bola memenuhi persamaan :

Untuk kecepatan lantai sebelum dan sesudah tumbukan sama dengan nol (v₂ = v’₂ = 0). Jika arah ke benda diberi harga negatif, maka akan diperoleh persamaan sebagai berikut.

 Dan untuk kasus seperti dibawah :

Sebuah bola yang dijatuhkan ke lantai akan memantul hingga berhenti dan diam. Bola terus memantul tapi lantai tetap diam. Koefisien restitusi untuk kasus tersebut adalah :

Contoh Soal

Bola karet dijatuhkan dari ketinggian 1 meter seperti gambar berikut !

Jika bola memantul kembali ke atas dengan ketingggian 0,6 meter, tentukan tinggi pantulan bola berikutnya! 

Jawab :

Dik          :               h₁ = 1 m

                                h₂ = 0,6

Dit          :               h₃?

Jawab   :

               

1. Merumuskan Hukum Kekekalan Momentum

Untuk menjelaskan  Hukum Kekekalan Momentum perhatikan gambar diatas. Dua buah bola, sebut saja bola 1 dan blola 2 bergerak mendatar berlawanan arah. Bola 1 bergerak ke kanan dengan momentum m₁v₁ dan bola 2 bergerak ke kiri dengan momentum m₂v_2.

Sehingga Momentum sistem partikel sebelum tumbukan adalah  :

p = m₁v_{1 +} m₂v₂

Dan momentum sistem partikel sesudah tumbukan adalah  :

p’ = m₁v₁’ ₊ m₂v₂’

Saat bola 1 dan bola 2 saling bersentuhan (anggap tidak ada gaya luar yang mempengaruhi) , kedua bola akan saling menekan dengan gaya F yang sama besar,namun berlawanan arah. Sesuai dengan Hukum III Newton Akibat adanya gaya aksi dan reaksi dalam selang waktu Δt tersebut, kedua bola akan saling melepaskan diri dengan kecepatan masing-masing sebesar v’₁ dan v’₂.

F_aksi = – F_reaksi

F₁ = – F₂

Impuls yang terjadi selama interval waktu Δt adalah F₁ Δt = -F₂ Δt . Karena I = F Δt = Δp , maka persamaannya adalah :

Δp₁ = – Δp₂
m₁v₁ – m₁v’₁ = -(m₂v₂ – m₂v’₂)
m₁v₁ + m₂v₂ = m₁v’₁ + m₂v’₂
p₁ + p₂ = p’₁ + p’₂
Jumlah momentum awal = Jumlah momentum akhir 

2. Bunyi Hukum Kekekalan Momentum

Dengan perumusan persamaan diatas maka bunyi Hukum Kekekalan Momentum adalah :

“jika tidak ada gaya luar yang bekerja pada sistem, maka momentum total sesaat sebelum tumbukan sama dengan momentum total sesudah tumbukan”. (Persamaan ini memberlakukan arah kecepatan tiap benda)

 3.       Contoh penerapan Hukum Kekekalan Momentum dalam kehidupan sehari-hari

a.       ketika bola bisbol bertabrakan dengan tongkat pemukul, jumlah dari momentum awal dan jumlah dari momentum akhir pemukul dan bola, tetap sama. Berapapun momentum tongkat pemukul yang hilang, akan menjadi pertambahan pada bisbol.

b.      Ketika peluru ditembakan dari pistol, pistol mundur sehingga jumlah momentum peluru dan pistol momentum dalam arah yang berlawanan, saling meniadakan dan momentum akhir dan momentum awal sistem menyamakan kedudukan

    4.       Contoh Soal dan Pembahasan tentang Hukum Kekekalan Momentum

1.      Sebuah balok 2 kg yang diam di atas lantai di tembak dengan sebutir peluru bermassa 100 gram dengan kecepatan 100 m/s. 

Jika peluru menembus balok dan kecepatannya berubah menjadi 50 m/s, tentukan kecepatan gerak balok!

Jawab :
Hukum kekekalan momentum :

Dik :       m_b = 2 kg

m_p = 100 g = 0,1 kg

v_p = 100 m/s

v_b = 0

v’p = 50 m/s

Dit : v’_b?

Jawab :                  m_pv_p + m_bv_b = m_pv’_p + m_bv’_b

(0,1)(100) + 0 = (0,1)(50)+ 2(v’_b)

10 = 5 + 2v’_b

2 v’_b = 10 – 5

v’_b =5/2 = 2,5 m/s

2.    Dua orang anak masing-masing A bermassa 75 kg dan B bermassa 50 kg menaiki perahu yang bergerak ke arah kanan dengan kelajuan 20 m/s. 

Jika massa perahu adalah 225 kg tentukan kelajuan perahu saat :
a) anak A meloncat ke belakang dengan kelajuan 50 m/s
b) anak B meloncat ke arah depan dengan kelajuan 50 m/s

Jawab :

Catatan :    (+) untuk kecepatan jika anak melompat searah gerak perahu

(−) jika anak melompat berlawanan arah dengan gerak perahu

Dik :          m_a = 75 kg

                        m_b = 50 kg

m_p = 225 kg

                        v_p = 20 m/s

a) Anak A meloncat ke belakang dengan kelajuan 50 m/s
Saat anak A meloncat ke belakang maka dua kelompok yang terlibat adalah:

-          Massa anak A = m₁

-          Massa anak B bergabung dengan perahu = m₂

Kecepatan awal anak A dan B adalah sama dengan kecepatan perahu = 20 m/s
  Dik :     m₁ = 75 kg

m₂ =  225 + 50 = 275 kg

v₁ =  v₂ = 20 m/s

Dit : v’₂?

Jawab :                  m₁v₁ + m₂v₂ = m₁v’₁ + m₂v’₂

(74)(20) + (275)(20) = (75)(-50)+ 275v’₂

1500 + 5500 = -3750 + 275v’₂

275v’₂ = 10750

v’₂ ­= 10750/275 = 39,1 m/s

Jadi kecepatan perahu setelah anak A melompat ke belakang sekaligus kecepatan anak B yang masih naik perahu adalah 39,1 m/s

b) anak B meloncat ke arah depan dengan kelajuan 50 m/s
dua kelompok yang terlibat

-          Massa anak B dengan = m₁ = 50 kg

-          Massa anak A bersama perahu = m₂

Kecepatan awal anak A dan B adalah sama dengan kecepatan perahu = 20 m/s
Dik          :              m₁ = 50 kg

m₂ =  225 + 75 = 300 kg

v₁ =  v₂ = 20 m/s

Dit                          : v’₂?

Jawab :                  m₁v₁ + m₂v₂ = m₁v’₁ + m₂v’₂

(50)(20) + (300)(20) = (50)(50)+ 300v’₂

1000 + 6000 = 2500 + 300v’₂

300v’₂ = 4500

v’₂ ­= 4500/300 = 15 m/s

Jadi kecepatan perahu sekaligus kecepatan anak A yang masih naik perahu setelah anak B meloncat ke depan adalah 15 m/s.